Evolution equations with singular coefficients

Abstract

الملخص (بالعربية) : ندرس مسألة كوشي لفئات معينة من معادلات التطور ذات معاملات أو معطيات غير منتظمة في إطار مفهوم الحلول الجد ضعيفة. هذا المفهوم يسمح لنا بالنظر في معادلات ذات معاملات أو معطيات غير منتظمة التي لا يمكن طرحها في الإطار الكلاسيكي. على وجه الخصوص، من الممكن التعامل مع المعادلات التي تتضمن دالة ديراك وقواها كمعامِلات أو معطيات. تتطرق دراستنا إلى ثلاثة أسئلة مهمة: • دراسة وجود ووحدانية الحلول للمسائل المقترحة. • الدراسة سواء التحليلية أو الرقمية لسلوك الحلول بالقرب من النقاط الغير منتظمة للمعاملات والمعطيات الإبتدائية. الكلمات المفتاحية : معادلات التطور، معاملات و معطيات غير منتظمة، التفاضل الكسري، مسألة كوشي، حلول كلاسيكية، تقديرات الطاقة، حلول ضعيفة جدا، انتشار التفردات ، تحليل فورييه. ---------------------------------------------- Résumé (en Français) : Nous étudions le problème de Cauchy pour certaines classes d'équations d'évolution à coefficients et/ou données non-réguliers dans le cadre du concept de solutions très faibles. Ce concept permet de considérer des équations avec des coefficients et/ou des données très singuliers pour lesquelles la théorie classique échoue. En particulier, il est possible de traiter des équations faisant intervenir la fonction delta de Dirac et ses puissances comme coefficients et/ou données. Notre étude porte sur trois questions importantes : • Si les problèmes de Cauchy considérés sont bien posés. • L'étude, soit analytique ou numérique, du phénomène de propagation de singularités. Les méthodes essentielles pour démontrer nos résultats d'existence et d'unicité sont basées sur des estimations d'énergie et des techniques issues de l'analyse classique des équations différentielles. Afin de décrire le comportement des solutions très faibles près des singularités des coefficients/données, une analyse détaillée de l'espace des phases est effectuée. L'approche est basée sur une décomposition en différentes zones où différentes techniques d'analyse asymptotique sont utilisées. Les mots clés : Equations d'évolution, coefficients et données singuliers, Laplacien fractionnaire, problème de Cauchy, solutions classiques, estimations de l’énergie, solutions très faibles, propagation de singularités, analyse de Fourier. ---------------------------------------------- Abstract (en Anglais) : We study the Cauchy problem for certain classes of evolution equations with singular coefficients and/or data in the framework of the concept of very weak solutions. This concept allows to consider equations with highly singular coefficients and/or data for which the classical theory fail. In particular, it is possible to deal with equations involving the Dirac delta function and its powers as coefficients and/or data. Our study deals with three important questions: • The well-posedness of the considered Cauchy problems. • The study, either analytically or numerically, of the phenomenon of propagation of coefficients/data singularities. The essential methods for our existence and uniqueness results are based on energy estimates and techniques from the classical analysis of differential equations. In order to describe the behaviour of the very weak solutions near the singularities of the coefficients/data, a detailed phase space analysis is carried out. The approach is based on a decomposition into different zones where different techniques of asymptotic analysis are used. Keywords : Evolution equations, singular coefficients/data, fractional Laplacian, Cauchy problem, classical solutions, energy estimates, very weak solutions, propagation of singularities, Fourier analysis.