Stabilisation de quelques équations d'évolution par approche diffusive

Abstract

الملخص (بالعربية) :

في هذه الأطروحة ، ندرس الوجود العالمي والسلوك المقارب لحلول معادلة الموجة المتدهورة باستخدام تحكم حدودي من النوع الكسري أو تبديد حد ديناميكي من النوع المشتق. الأدوات المستخدمة هي طريقة التحليل الطيفي ، والمجموعة النصفية ، ومجموعة C_0-semigroup ، ونظرية Borichev و Tomilov ، ونظرية Hille-Yosda ، ونظرية Rouché. أولاً ، نحن مهتمون بدراسة استقرار معادلة الموجة أحادية البعد المتدهورة بشكل ضعيف u_tt - 〖(x ^ γ u_x)〗 _ x = 0 مع x∈ (0،1) و γ∈ [0 ؛ 1) ، متحكم فيها من خلال رد فعل كسري عند الحد الذي يعمل عند x = 0. يتم الحصول على استقرار قوي وموحد وغير منتظم مع تقدير صريح لانحلال الطاقة في المساحات المناسبة. يتم الحصول على النتائج من خلال تقدير لمحلل المولد المرتبط بشبه المجموعة. باستخدام طريقة طيفية ، نحدد معدل الانحلال الأمثل لطاقة النظام. بعد ذلك ، نعتبر معادلة موجة متدهورة بشرط تحكم حدودي من نوع مشتق كسري. أظهرنا أن المشكلة ليست مستقرة بشكل موحد بالطريقة الطيفية ودرسنا الاستقرار متعدد الحدود باستخدام نظرية المشغلين الخطيين على أساس نصف المجموعة. أخيرًا ، نحن مهتمون بدراسة الوجود العالمي لحلول المعادلات أحادية البعد المتدهورة بشكل ضعيف u_tt - 〖(x ^ γ u_x)〗 _ x = 0 مع x∈ (0،1) و γ∈ [0 ؛ 1) ، مع شرط تحكم حد ديناميكي لنوع مشتق كسري.

الكلمات المفتاحية : معادلة الموجة المنحلة ، التبديد الديناميكي للحدود لنوع المشتق الكسري ، معدل الانحلال الأمثل ، دوال بيسيل ، فحص الحدود الجزئية ، الاستقرار متعدد الحدود ، 〖C〗 _0-semigroup ---------------------------------------------- Résumé (en Français) : Dans cette thèse ,nous étudions l'éxistence globale et le comportement asymptotique de solutions de l'équation des ondes dégénérée avec un contrôle frontière de type fractionnaire ou dissipation frontière dynamique de type dérivé fractionnaire . Les outils utilisées sont méthode d'analyse spectrale, semi groupe, C_0-semigroupe, le théorème de Borichev et Tomilov, théorème de Hille-Yosda et le théorème de Rouché. Premièrement, nous nous intéressons à l'étude de la stabilisation d'équation d'onde unidimensionnelle faiblement dégénérée u_tt-〖(x^γ u_x)〗_x=0 avec x∈(0,1)et γ∈[0;1), controlée par un feedback fractionnaire au bord agissant à x=0 . Stabilisation forte, uniforme et non uniforme sont obtenus avec une estimation explicite de la décroissance de l'énergie dans des espaces appropriés. Les résultats sont obtenus à travers une estimation de la résolvante du générateur associé au semigroupe. On utilise une méthode spectrale, nous établissons la vitesse de décroissance polynomial optimal de l'énergie du système. Ensuite, nous considérons une équation d'onde dégénérée avec une condition de contrôle frontière de type dérivé fractionnaire. Nous montrons que le problème n'est pas uniformément stable par une méthode spectrale et nous étudions la stabilité polynomiale à l'aide de la théorie des opérateurs linéaires basée sur le semigroupe. Enfin, nous nous intéressons à l’étude de l’existence globale des solution d’équations unidimensionnelles faiblement dégénérée u_tt-〖(x^γ u_x)〗_x=0 avec x∈(0,1)et γ∈[0;1), avec une condition de contrôle frontière dynamique de type dérivé fractionnaire Les mots clés : Equation d'onde dégénérée ,dissipation frontière dynamique de type dérivé fractionnaire , la vitesse de décroissance optimal , fonctions de Bessel , contrôle aux limites fractionnaires , stabilité polynomiale , 〖 C〗_0-semigroupe. ----------------------------------------------Abstract (en Anglais) :

In this thesis, we study the global existence and the asymptotic behavior of solutions of the degenerate wave equation with a fractional type boundary control or fractional derivative type dynamic boundary dissipation. The tools used are spectral analysis method, semigroup, C_0-semigroup, Borichev and Tomilov theorem, Hille-Yosda theorem and Rouché theorem. First, we are interested in the study of the stabilization of weakly degenerate one-dimensional wave equation u_tt-〖(x^γ u_x)〗_x=0 with x∈(0,1) and γ∈[0;1) , controlled by a fractional feedback at the boundary acting at x=0. Strong, uniform and non-uniform stabilization are obtained with an explicit estimate of the energy decay in appropriate spaces. The results are obtained through an estimate of the resolvent of the generator associated with the semigroup. Using a spectral method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the systemNext, we consider a degenerate wave equation with a boundary control condition of fractional derivative type. We show that the problem is not uniformly stable by a spectral method and we study the polynomial stability using the theory of linear operators based on the semigroup. Finally, we are interested in the study of the global existence of solutions of weakly degenerate one-dimensional equations u_tt-〖(x^γ u_x)〗_x=0 with x∈(0,1) and γ∈[0;1), with a dynamic boundary control condition of fractional derivative type.

Keywords : Degenerate wave equation , dynamic boundary dissipation of fractional derivative type , optimal decay rate , Bessel functions , fractional boundary check , polynomial stability , 〖C〗_0-semigroup