Existence globale, explosion en temps fini et le comportement asymptotique des solutions de certaines équations d’évolution non linéaires

Abstract

الملخص (بالعربية) :

هذه الأطروحة مخصصة لدراسة الوجود الكلي و الانفجار في الزمن المحدد و السلوك المقارب لحلول بعض المعادلات الزمنية الغير خطية. تتكون هذه الأطروحة من أربعة فصول مخصصة لدراسة الطرح الجيد، و السلوك المقارب، و الانفجار في الزمن المحدد لحلول بعض المعادلات الزمنية مع عبارة الإخماد الغير خطية و بحد التأخر و حد المنبع. في الفصل الأول نذكر ببعض المفاهيم الأساسية التي ستستخدم في هذه الأطروحة. في الفصل الثاني نعتبر معادلة الأمواج الغير خطية الخاضعة للتخميد وحد التأخر وحد المنبع. نبرهن أن الحل ينفجر في زمن محدد إذا كان حد المنبع يتحكم في عبارة التبديد و حد التأخير p>{m,l+2}max وذالك باستعمال طريقة Georgiev.V و Todorova .G ، تحت الشرط الذي تكون فيه الطاقة الابتدائية سالبة. في الفصل الثالث نعتبر معادلة Petrovsky الغير خطية ومعممة الشكل و بتخميد قوي. نبرهن أن هذه المسألة مطروحة جيدا و ذالك بإستعمال طريقة الإكتناز. أما الإستقرار العام للحل نستعمل طريقة Lyapunov. في الفصل الرابع نعتبر جملة الامواج المزدوجة الغير خطية ﻠ Petrovsky بتخميد قوي. نبرهن أن هذه المسألة مطروحة جيدا و ذالك بإستعمال طريقة الإكتناز. أما استقرار الحل نستعمل الطريقة المضاعفة فنجد أن إستقرارالحل يخضع لتابع اسي ولتابع كثير حدود.

الكلمات المفتاحية : الطرح الجيد، الجملة المزدوجة، التناقص العام، التناقص الأسي، كثير حدود الاضمحلال، طريقة Galerkin-Faedo، طريقة Lyapunov، طريقة مضاعفة، حد المنبع، حد التأخر، انفجار. ----------------------------------------------

Résumé (en Français) :

La présente thèse est consacrée à l’étude de l’existence globale, explosion en temps fini et le comportement asymptotique des solutions de certaines équations d’évolution non linéaires. Ce travail se compose de quatre chapitres, sera consacré à l’étude du bien-posé, le comportement asymptotique et explosion en temps fini de la solution de certaines équations d’évolution avec un terme d’amortissement non linéaires, un terme de retard et un terme de source. Dans le chapitre 1, nous rappelons quelques notions utilisées dans cette thèse. Dans le chapitre 2, nous considérons l’équation d’onde non linéaire soumis à un amortissement, un terme de retard et un terme de source. Nous prouvons que la solution explose en temps fini si le terme de source domine le terme de dissipatif et le terme de retard p > max{l + 2, m} sous la condition que l’énergie initiale est négative par la méthode de V. Georgiev et G. Todorova. Dans le chapitre 3, nous considérons l’équation de Petrovsky avec un fort amortissement non linéaire et de forme générale. Nous prouvons que ce problème est bien posé en utilisant la méthode de compacité, et pour la stabilité générale de la solution introduisant une méthode de Lyapunov. Dans le chapitre 4, nous considérons un système Petrovsky-onde couplé avec un fort amortissement non linéaire. Nous prouvons la bien posé en utilisant la méthode de compacité, et pour la stabilité de solution introduisant une méthode de multiplicateur, nous trouvons la stabilité exponentielle et polynomiale.

Les mots clés : Bien posé, système couplé, décroissance générale, décroissance exponentielle, polynomiale décroissance, méthode Faedo-Galerkin, méthode Lyapunov, méthode multipliée, terme de source, terme de retard, explosion.

---------------------------------------------- Abstract (en Anglais) :

The present thesis is devoted to the study of global existence, blow-up in finite time and the asymptotic behaviour of the solutions for some nonlinear evolution equations.. This work consists of four chapters, will be devoted to the study of the well-posedness, asymptotic behaviour and blow-up in finite time of the solution of some evolution equations with nonlinear dissipative terms, delay and source terms. In chapter 1, we recall of some notions used in this thesis. In chapter 2, we consider the wave equation with nonlinear source, damping and delay term. We prove that weak solutions to the systems blow up in finite time whenever the initial energy is negative and the exponent of the source terms is more dominant than the exponent of damping terms, we use the method of V. Georgiev and G. Todorova. In chapter 3, we consider the Petrovsky equation with a nonlinear strong damping. We prove, under some appropriate assumptions, that this system is well-posed using the compactness method. Furthermore, the general stability is given by using a combination of the some properties of convex functions with an appropriate Lyapunov functional. In chapter 4, we consider a coupled Petrovsky-wave system with a nonlinear strong damping. We prove well-posedness by using the compactness method, and establish the both exponentialand polynomial decay estimates by introducing a multiplied method.

Keywords : Well-posedness, coupled system, general decay, exponential decay, polynomial decay, Faedo-Galerkin method, Lyapunov method, multiplied method, source term, delay term, blow-up.