Étude qualitative des équations différentielles d’ordre fractionnaire

Abstract

الملخص (بالعربية) :

في هذه الأطروحة، سنضع شروطًا لدراسة وجود ووحدانية الحلول وكذا الاستقرار بمفهوم إيلام(Ulam) لمختلف فئات من المشاكل عند القيمة الابتدائية وعند الحدود للمعادلات التفاضلية الضمنية الغير الخطية بوجود وغياب النبضات. موظفين المشتقة الكسرية الأسية لكابوتو(Caputo). في دراستنا، تم التطرق إلى الحالتين المجردة والسلمية. لإثبات وجود ووحدانية الحلول، نستخدم بعض نظريات النقطة الثابتة. كما يتم تقديم العديد من الأمثلة التوضيحية.

الكلمات المفتاحية : مشكلة القيمة الابتدائية، مشكلة القيمة عند الحدود، المشتقة الكسرية الأسية لكابوتو، المعادلات التفاضلية الكسرية الضمنية، التكامل الكسري الأسي، النبضات غير الآنية، النبضات اللحظية، الوجود، الوحدانية، النقطة الثابتة، الاستقرار بمفهوم إيلام، الظروف الغير المحلية، فضاء باناخ، مقياس عدم الاكتناز.

---------------------------------------------- Résumé (en Français) :

Dans cette thèse, nous avons établi des conditions d'existence, d'unicité des solutions et de la stabilité d'Ulam de diverses classes de problèmes à valeur initiale et de problèmes aux limites pour les équations différentielles implicites non linéaires avec et sans impulsions en utilisant la dérivée fractionnaire de type exponentielle au sens de Caputo. Dans notre étude, Les deux cas abstrait et scalaire ont été considérés. Pour prouver l'existence et l'unicité des solutions, nous utilisons certains théorèmes classiques du point fixe. Afin d'illustrer nos résultats plusieurs exemples ont été présentés.

Les mots clés : Problème à valeur initiale, problème aux limites, la dérivée fractionnaire de type exponentielle au sens de Caputo, équations différentielles implicites, l'intégrale fractionnaire de type exponentielle, impulsions non-instantanées, impulsions instantanées, existence, unicité, point fixe, stabilité d'Ulam, les conditions non-locales, espace de Banach, mesure de non-compacité.

---------------------------------------------- Abstract (en Anglais) :

In this Thesis, we shall establish conditions for the existence, uniqueness of solutions and Ulam stability for various classes of initial and boundary value problems for nonlinear implicit fractional differential equations with and without impulses involving Caputo’s exponential type fractional derivative. In our study, the Both cases of abstract and scalar have been considered. To prove the existence and uniqueness of solutions, we use some standard fixed point theorems. several enlightening examples are also presented.

Keywords : Initial value problem, boundary value problem, Caputo’s exponential type fractional derivative, implicit differential equations, exponential type fractional integral, non-instantaneous impulses, instantaneous impulses, existence, uniqueness, fixed point, Ulam stability, nonlocal conditions, Banach space, measure of noncompactness.