Equations différentielles fractionnaires : Analyse et stabilité

Abstract

الملخص (بالعربية) :

في هذه الأطروحة ، نقدم بعض النتائج حول وجود الحلول لبعض الفئات من المعادلات التفاضلية ذات الرتب الـكسرية و وحدانيتها. تم ايضا شمل دراسة مسألة الإستقرار (Stability)بمفهوم Ulam .تم التعرف على المعادلات ذات القيمة الأولية و المعادلات ذات القيم الحدية ذات المشتق الـكسري المعمم من نوع Hilfer مع و بدون نبضات ) فورية و غير فورية) . ناقشنا أيضا فئة مشكلة القيمة الأولية للمعادلات التفاضلية الهجينة (hybrid) غير الخطية مع مشتق Hilfer و Hilfer-ψ .إستخدمنا في هذه الدراسة مبرهنات النقطة الصامدة ل Krasnoselskii و Dhage و Schaefer و Banach لقد أخذنا في الاعتبار أيضا المشكلات نفسها ، ولـكن في فضاءات باناخ ، مع نتائج تستند إلى مبرهنات النقطة الصامدة ل Darbo و Mönch المرتبطة بتقنية قياس عدم التراص.

الكلمات المفتاحية : المعادلات التفاضلية ذات الرتب الـكسرية، الإستقرار، المعادلات ذات القيمة الأولية، المعادلات التفاضلية الهجينة، مبرهنات النقطة الصامدة، تقنية قياس عدم التراص، فضاءات باناخ.

---------------------------------------------- Résumé (en Français) :

Dans cette thèse, nous présentons quelques résultats d'existence, d'unicité et de stabilité au sens d'Ulam pour une classe de problèmes à valeurs initiales et de problème aux limites pour des équations différentielles avec des dérivées fractionnaires généralisées de type Hilfer, avec et sans impulsions (instantanées et non-instantané), Nous avons également discuté la classe de problèmes à valeur initiale pour les équations différentielles, implicites hybrides, non linéaires avec la dérivée fractionnaire généralisée de Hilfer et la dérivée fractionnaire de ψ -Hilfer. Les méthodes utilisées sont les théorèmes de points fixes de Krasnoselskii, Dhage, Schaefer et le principe de contraction de Banach. Nous avons également pris en compte les mêmes problèmes mais dans les espaces de Banach, avec des résultats basés sur en utilisent les théorèmes de point fixe de Darbo et de Monch associés à la technique de la mesure de non-compacité.

Les mots clés : Dérivée fractionnaire de type Hilfer généralisée, problème de valeur aux limites, existence, mesure de non-compactité, point fixe, espace de Banach, stabilité d'Ulam-Hyers-Rassias, dérivée fractionnaire ψ -Hilfer, équations différentielles fractionnaires implicites, intégrale fractionnaire, impulsions, impulsions instantanées , stabilité d'Ulam, problème de la valeur initiale, problème non local, lemme de Gronwall, impulsions non instantanées, équations différentielles fractionnaires hybrides, problème de la valeur initiale, impulsions non instantanées.

---------------------------------------------- Abstract (en Anglais) :

In this thesis, we present some results on existence, uniqueness, and stability of Ulam-Hyers-Rassias for a class of initial value problem and boundary value problem for differential equations with generalized Hilfer-type fractional derivative with and without impulses (both instantaneous and non-instantaneous), We have also discussed the class of initial value problem for nonlinear fractional Hybrid implicit differential equations with generalized Hilfer and ψ -Hilfer fractional derivative. The methods used are the fixed point theorems of Krasnoselskii, Dhage and Schaefer and Banach contraction principle. We also took into account the same problems, albeit in Banach Spaces, with results based on the fixed point theorems of Darbo and Monch associated with the technique of measure of noncompactness.

Keywords : Generalized Hilfer type fractional derivative, boundary value problem, existence, measure of noncompactness, fixed point, Banach space, Ulam-Hyers-Rassias stability, ψ -Hilfer fractional derivative, implicit fractional differential equations, fractional integral, impulses, instantaneous impulses, Ulam stability, initial value problem, nonlocal problem, Gronwall lemma, non-instantaneous impulses, hybrid fractional differential equations, initial value problem, non-instantaneous impulse.