Contribution à l’estimation non paramétrique pour les modèles de survie conditionnelles

Abstract

الملخص (بالعربية) : في هذه الأطروحة، نقترح دراسة بعض المعلّمات الوظيفية.

أولا نقترح دراسة مشكلة النمذجة اللامعلمية عندما تكون المتغيرات الإحصائية عبارة عن منحنيات. على وجه التحديد، نحن مهتمون بمشاكل التنبؤ إنطلاقا من متغيّر تفسيري قيمه في فضاء لانهائي الأبعاد (الفضاء الوظيفي). ونسعى إلى تطوير بدائل لطريقة الانحدار.

في الواقع، نحن نفترض أن لدينا متغير عشوائي حقيقي (الاستجابة)، غالبا ما يرمز له ب Y و متغير وظيفي (التفسيري) غالبا ما يرمز له ب X . النموذج اللامعلمي المستخدم لدراسة العلاقة بين X و Y يخص التوزيع الشرطي الذي يفترض أن تكون فيه دالة التوزيع (على التوالي الكثافة)، برمز F (على التوالي f)، تنتمي لفضاء وظيفي مناسب.

ثانيا عندما يتم إنشاء البيانات من نموذج الانحدار ذو مؤشر واحد. ندرس معلمتين وظيفيتين.

في البداية كنا مهتمين بتقدير دالة الخطر المشروطة و معدل الخطر الأقصى، نقدِّم النتائج الأولى لدينا عندما تعتبر العينة ليست بالضرورة مستقلة و متشابهة (مُماثِلة) التوزيع.i.i.d

في الخطوة الثانية افترضنا أن المتغير التفسيري له قيم في فضاء شبه متري (بعد لانهائي) و نعتبر تقدير دالة الخطر المشروطة بطريقة النواة.

تعاملنا مع خصائص المقاربة لهذا المقدر في حالة التّبعية (لا إستقلالية). في حالة الملاحظات الامُستَقِلّة، نحصل على التقارب النقطي الموحد الشبه كامل مع سرعة المُقدِّر المَبْنِي. كتطبيق نناقش تأثير هذه النتيجة في التنبؤ الوظيفي أَلاَّحُدودِي ابتداء من تقدير الحد الأقصى للخطر.

نتائجنا التَقارُبِيَّةُ(asymptotiques) تَستغِّل جيِّدا الهيكل الطوبولوجي للفضاء الوظيفي لِمُلاحَظَاتِنا و الصفة الوظيفية لِنَماذِجِنا. في الواقع، كُلُّ سرعاتنا التقاربية(vitesses de convergences) مُكَمَّمة بدلالة تركيز قياس الإحتمال للمُتَغيِّر الوظيفي و بِدرجة انتظام النماذج. ----------------------------------------------Résumé (Français) : Dans cette thèse, nous proposons d’étudier quelques paramètres fonctionnels.

Premièrement nous proposons d’étudier le problème de la modélisation non paramétrique lorsque les variables statistiques sont des courbes. Plus précisément, nous nous intéressons à des problèmes de prévisions à partir d’une variable explicative à valeurs dans un espace de dimension infinie (espace fonctionnel). et nous cherchons à développer des alternatives à la méthode de régression.

En effet, nous supposons qu’on dispose d’une variable aléatoire réelle (réponse), souvent notée Y et d’une variable fonctionnelle (explicative), souvent notée X. Le modèle non paramétrique utilisé pour étudier le lien entre X et Y concerne la distribution conditionnelle dont la fonction de répartition (respectivement la densité), notée F (respectivement f), est supposée appartenir à un espace fonctionnel approprié.

Deuxièmement lorsque les données sont générées à partir d’un modèle de régression à indice simple. Nous étudions deux paramètres fonctionnels.

Dans un premier temps nous nous sommes intéressés à l’estimation de la fonction du hasard conditionnelle ainsi que le taux du hasard maximal, dont nous donnons nos premiers résultats lorsque l’échantillon considéré est non nécessairement i.i.d.

Dans un second temps nous supposons que la variable explicative est à valeurs dans un espace semi métrique (dimension infinie) et nous considérons l’estimation de la fonction de hasard conditionnelle par la méthode de noyau.

Nous traitons les propriétés asymptotiques de cet estimateur dans le cas dépendant. Pour le cas où les observations sont dépendantes, nous obtenons la convergence ponctuelle et uniforme presque complète avec vitesse de l’estimateur construit. Comme application nous discutons l’impact de ce résultat en prévision non paramétrique fonctionnelle à partir de l’estimation du risque maximal.

Nos résultats asymptotiques exploitent bien la structure topologique de l’espace fonctionnel de nos observations et le caractère fonctionnel de nos modèles. En effet, toutes nos vitesses de convergence sont quantifiées en fonction de la concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle et du degré de régularité des modèles.

---------------------------------------------- Résumé (Anglais) : In this thesis, we study the problem of nonparametric modelization when the data are curves. Indeed, we consider real random variable (named response variable) X and a functional variable (explanatory variable) Z. The nonparametric model used to study the relation between Z and X is the conditional distribution function noted F which has a density f. Both F and f are supposed to belong to some suitable functional spaces.

Secondly we propose to study some functional parameters when the data are generated from a model of regression. We study two functional parameters. Firstly, we are interested in the conditional hazard function estimation as the asymptotic normality, the results are given in the case when the variables are dependent.

Secondly, we suppose that the explanatory variable is valued in metric space (infinite dimension) and we consider the conditional hazard function estimation via kernel approach. We establish its asymptotic properties ; pointwise and almost surely convergence (with rate) in dependent case. As an application we discuss the impact of this result in functional non parametric prediction from the estimation maximum of the conditional hazard function. In the case, we establish the pointwise and almost surely convergence (with rate) of the kernel estimator of the conditional hazard function.

The maximum of the conditional hazard function is a parameter of great importance in seismicity studies, because it constitutes the maximum risk of occurrence of an earthquake in a given interval of time. using the kernel nonparametric estimates of the first derivative of the conditional hazard function, we establish uniform convergence properties and asymptotic normality of an estimate of the maximum in the context of strong mixing dependence. Our asymptotic results exploit the topological structure of functional space for the observations. Let us note that all the rates of convergence are based on an hypothesis of concentration of the measure of probability of the functional variable on the small balls.

As far as we know, the problem of estimating the conditional hazard in the functional single index parameter for censored data was not attacked. In general the nonparametric estimation under censored data is new in the statistical literature. What doubtless makes, the originality of this thesis.