Sur l’estimation non paramétrique pour des données fonctionnelles Théorie et application.

Abstract

الملخص (بالعربية) :

في هذه الأطروحة نقترح دراسة بعض القواعد الوظيفية. بداية نقترح دراسة مشكلة النّمذجة الغير معلميه عندما تكون المتغيرات الإحصائية هي المنحنيات. .وبشكل أكثر تحديد نركز على مشاكل التوقعات من متغيرات تفسيرية مع القيم في فضاء لانهائي البعد مساحة (مساحة وظيفيّة) . و نسعى لتطوير بدائل للانحدار. ثانيا عندما يتم إنشاء البيانات من نموذج الانحدار مؤشر واحد. ندرس معلمتين وظيفية .في الخطوة الثانية نفترض أن المتغير التفسيري يأخذ القيم في فضاء هيلبرت (لانهائي الأبعاد) ونعتبر تقدير دالة عشوائية مشروطة من خلال طريقة النواة و نتعامل مع خصائص المقاربة لهذا التقدير في الحالة غير المستقلّة وعلى غرار البيانات الغير مكتملة عن طريق وجود رقابة على يمين المتغيّرات في هذا السياق نقوم بدراسة التّقارب النّقطي وكذا التّقارب الموحّد الشّبه كامل مع الأخذ بعين الاعتبار سرعة التّقارب لهذا التّقدير في كلتى الحالتين حالة البيانات .الكاملة والغير كاملة

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Abstract In this thesis, we study the problem of nonparametric modelization when the data are curves. Indeed, we consider real random variable (named response variable) X and a functional variable (explanatory variable) Z. The nonparametric model used to study the relation between Z and X is the conditional distribution function noted F which has a density f. Both F and f are supposed to belong to some suitable functional spaces. Secondly we propose to study some functional parameters when the data are generated from a model of regression to a single index. We study two functional parameters. Firstly, we suppose that the explanatory variable is valued in Hilbert space (infinite dimension) and we consider the conditional hazard function estimation via kernel approach. We establish its asymptotic properties; point wise and almost surely convergence (with rate) in independent case. As an application we discuss the impact of this result in functional non parametric prediction from the estimation of conditional mode and conditional quantile. Dependency is modeled via the correlation of variables. In this context we establish the almost complete convergence and the asymptotic normality of the kernel estimator of the conditional distribution suitably normalized. We give explicitly the asymptotic variance.Our asymptotic results exploit the topological structure of functional space for the observations. Let us note that all the rates of convergence are based on an hypothesis of concentration of the measure of probability of the functional variable on the small balls and also on the Kolmogorov's entropy which measures the number of the balls necessary to cover some set. As far as we know, the problem of estimating the conditional hazard in the functional single index parameter for censored data was not attacked. In general the nonparametric estimation under censored data is new in the statistical literature.

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Résumé Dans cette thèse, nous étudions quelques paramètres fonctionnels premièrement, on propose d'étudier le problème de la modélisation non paramétrique lorsque les variables statistiques sont des courbes. Plus précisément, on s'est intéressé à des problèmes de prévisions à partir d'une variable explicative à valeurs dans un espace de dimension infinie (espace fonctionnel), et on cherche à développer des alternatives à la méthode de régression. En effet, on suppose que les données sont générées à partir d'un modèle de régression à indice fonctionnel simple. Le modèle non paramétrique utilisé pour étudier le lien entre X et Y en présence d'indice fonctionnel simple. Dans un premier temps nous supposons que la variable explicative est à valeurs dans un espace de Hilbert (dimension infinie) et nous considérons l'estimation de la distribution conditionnelle ainsi que les dérivées successive de la densité conditionnelle par la méthode de noyau. Nous traitons les propriétés asymptotiques de cet estimateur dans les deux cas indépendant et dépendant. Pour le cas où les observations sont indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.), nous obtenons la convergence ponctuelle et uniforme presque complète avec vitesse de l'estimateur construit. Comme application nous discutons l'impact de ce résultat en prévision non paramétrique fonctionnelle à partir de l'estimation de mode conditionnelle et le quantile conditionnelle. La dépendance est modélisée via la corrélation des variables. Dans ce contexte nous établissons la convergence presque complète ainsi que la normalité asymptotique de l'estimateur à noyau de la distribution conditionnelle convenablement normalisée. Nous donnons de manière explicite la variance asymptotique. Notons que toutes ces propriétés asymptotiques ont été obtenues sous des conditions standard et elles mettent en évidence le phénomène de concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle sur des petites boules. Nos résultats asymptotiques exploitent bien la structure topologique de l'espace fonctionnel de nos observations et le caractère fonctionnel de nos modèles. En effet, toutes nos vitesses de convergence sont quantifiées en fonction de la concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle, de l'entropie de Kolmogorov et du degré de régularité des modèles.