Sur l’étude asymptotique de quelques modèles non- paramétrique conditionnels en statistique fonctionnelle à direction révélatrice.

Abstract

تتعلق الإشكالية التي تم تناولها في هذه الأطروحة بتقدير النماذج اللامعلمية المشروطة بالتغيير العشوائي الدالي عند إنشاء بيانات من نموذج انحدار مؤشر وظيفي بسيط لبيانات كاملة و بيانات خاضعة للرقابة. بتعبير أدق نحن مهتمون بالوظيفة الكمية الشرطية و ندرس سلوكها المقارب. أولا نفترض أن الملاحظات مستقلة و موزعة بشكل متطابق و المتغير التوضيحي له قيم في فضاء هيلبرت (البعد اللانهائي). في هذا السياق نقوم ببناء مقدر ثنائي النواة لدالة التوزيع الشرطي. و بالتالي نؤسس التقارب شبه الكامل و التقارب الموحد لهذا المقدر من خلال تحديد سرعات التقارب. استنتجنا مقدرا للكمية الشرطية التي أنشانا لها سرعة التقارب شبه الكامل و التقارب الموحد. في خطوة ثانية نقوم بتعميم النتائج التي تم الحصول عليها في الجزء الأول على الحالة التي تمتزج فيها الملاحظات بشدة في وجود البيانات الخاضعة للرقابة. يتم توضيح النتائج التي تم الحصول عليها من خلال أمثلة على البيانات المحاكاة.

الكلمات المفتاحية :بيانات وظيفية , تنبؤ لا وسطي, وظيفة التوزيع الشرطي, الكم الشرطي,مؤشر وظيفي بسيط, تقارب شبه كامل, تقارب موحد, -αخليط, بيانات خاضعة للرقابة.

----------------------------------- La problématique traitée dans cette thèse concerne l’estimation non paramétrique de la fonction de répartition conditionnelle et ses dérivées à variable explicative fonctionnelle lorsque les données sont générées à partir d’un modèle de régression à indice fonctionnel simple pour des données complètes et incomplètes (censurée). Plus précisément, nous nous intéressons à la fonction quantile conditionnelle et nous étudions son comportement asymptotique.

Dans un premier temps, nous supposons que les observations sont indépendantes et identiquement distribuées, et la variable explicative est à valeurs dans un espace de Hilbert (dimension infinie). Dans ce contexte, nous construisons un estimateur à double noyau de la fonction de répartition conditionnelle. Ainsi nous établissons la convergence presque-complète et la convergence uniforme de cet estimateur en précisant ses vitesses de convergence pour chacun de ces modes de convergence. Nous avons déduit un estimateur du quantile conditionnel, pour lequel nous avons établi la vitesse de convergence presque-complète et la convergence uniforme. Puis nous généralisons les résultats obtenus au cas où les observations sont fortement mélangeant.

Dans un second temps, nous traitons notre estimateur sous un modèle de données censurées à droite, et nous étudions son comportement asymptotique. Les résultats obtenus sont illustrés par des exemples sur des données simulées.

Les mots clés : Données fonctionnelles, Estimation non paramétrique, Fonction de répartition Conditionnelle, Quantile conditionnelle, Indice fonctionnel simple, Convergence presque complète, Convergence uniforme, α- mélange, Données censurées.

------------------------------------- The problematic dealt with in this thesis concerns the nonparametric estimation of the conditional cumulative distribution and its derivatives when the data are generated from a simple functional index regression model for complete and incomplete data. More precisely, we are interested in the conditional quantile function and we study its asymptotic behavior.

First, we assume that the observations are independent and identically distributed, and the explanatory variable takes its values in Hilbert space (infinite dimensional space). In this context, we construct a kernel estimator of the conditional cumulative distribution. Afterward, we establish the pointwise and the uniform almost complete convergence with rates of the estimator, and we deduce similar asymptotic properties of the conditional quantile. Then, we generalize our results to the case where observations are strongly mixed.

Secondly, we treat our estimator under censored data and we study its asymptotic behavior. The established results are illustrated by examples on simulated data.

Keywords: Functional data, Nonparametric estimation, Conditional cumulative distribution, Conditional quantile, Functional single index, Almost complete convergence, Uniform convergence, α- mixing, Censored data.