Contrôle et stabilisation des équations aux dérivées partielles linéaires et non linéaires de type hyperbolique et parabolique.

Abstract

--------------------------------------------------------------------------------------------------------resume en arabe-------------------------------------------------------------------------------------------في هذه الأطروحة، قمنا بدراسة مسألة قابلية التحكم عند الصفر لمعادلات مكافئة غير مستقلة ومنحطة. تعد تقديرات كارلمان من بين الأدوات المستخدمة لدراسة إمكانية التحكم في معادلات مكافئة الانحطاط. تعمل هذه التقديرات الأخيرة على إظهار متباينة الملاحظة في المعادلات المرافقة للمعادلات المكافئة غير المستقلة والمنحطة والمكافئة لإمكانية التحكم عند الصفر في المعادلات المكافئة. لقد درسنا أيضًا الوجود الكلي (في الزمن) لحلول معادلات سيجما تطورية كسرية شبه خطية ذات معطيات صغيرة مع أو بدون كتلة. هدفنا الرئيسي هو توضيح تأثير عنصر الكتلة من ناحية، ومن ناحية أخرى تأثير زيادة صقالة المعطيات على الخصائص النوعية للحلول. باستخدام توابع بيسال المعدلة، أظهرنا بعض الاضمحلال متعدد الحدود في تقديرات Lp-Lq لحلول للمعادلات الكسرية الخطية المرفقة. بواسطة خاصية النقطة الصامدة، أثبتنا وجود حلول ذات معطيات صغيرة تحت مجموعة من القيم لــ p. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------resume en français--------------------------------------------------------------------------------------------In this thesis, we have studied the null controllability question of Degenerate Non autonomous Parabolic Equations. Among the tools to study the null controllability of the degenerate parabolic equations is the Carleman estimates. These last estimates are used to show the observability inequality of the adjoint parabolic equations which is equivalent to the null controllability of the degenerate parabolic equations. We have also studied the global (in time) existence of small data solutions to semi-linear fractional σ-evolution equations with mass or power non-linearity. Our main goal is to explain on the one hand the influence of the mass term and on the other hand the influence of higher regularity of the data on qualitative properties of solutions. Using modified Bessel functions we proved some polynomial decay in Lp − Lq estimates for solutions to the corresponding linear fractional σ-evolution equations. By a fixed point argument the existence of small data solutions is proved for some admissible range of powers p.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------resume en anglais---------------------------------------------------------------------------------------------Dans cette thèse, nous avons traité la question de la contrôlabilité à zéro des équations paraboliques dégénérées non autonomes. Les estimations de Carleman font partie des outils permettant d’étudier la contrôlabilité à zéro des équations paraboliques dégénérées. Ces dernières estimations servent à montrer l'inégalité d'observabilité des équations paraboliques adjointes qui est équivalente à la contrôlabilité à zéro des équations paraboliques dégénérées. Nous avons aussi étudié l'existence globale (dans le temps) de solutions de petites données pour des équations fractionnaires σ-évolution semi-linéaires avec ou sans terme de masse. Notre objectif principal est d'expliquer d'une part l'influence du terme de masse et d'autre part l'influence de la régularité supérieure des données sur les propriétés qualitatives des solutions. En utilisant des fonctions de Bessel modifiées, nous avons démontré une certaine décroissance polynomiale dans les estimations Lp - Lq pour les solutions aux équations fractionnaires linéaires correspondantes. Par un argument de point fixe, l'existence de solutions de données réduites est prouvée pour une gamme de puissances admissibles p