Géométrie des surfaces dans l'espace Euclidien et l'espace semi-Euclidien

Abstract

الملخص(بالعربية): أي عمل في الهندسة الريمانية يمكث صعبا في العموم. لكونه في العموم أنه يحتوي على كم هائل من النتائج وتداخل كل فروع الرياضيات. المسألة الأساسية: الانحناء موجود تقريبا في كل مسائل الهندسة المعاصرة. في هذا المنشور تطرقت الى موضوع لم يتم النظر فيه من قبل, اعطاء الترتيل الكلي للمساحات المسمات " translations factorables" في الفضاء الاقليدي دي الابعاد الثلاثة و لورنز. السادة بكار و الزبير رتبا مساحات الدوران ذات الانحناء القوسي المنعدم K_G في الفضاء الاقليدي دي الابعاد الثلاثة و فضاء لورنز مينكوفسكي تحت الخاصية Δr^i= λ^i r^i ;〖 λ〗^i∈ R. بكار , باب احمد و الزبير اوجدوا مساحا ت الانسحاب في فضاء لورنز مينكوفسكي بأن الدوال المكونة هن قيم خاصة لمؤثريهم. بكار و السنوسي درسا مساحت فاكتورابل في فضاء لورنز مينكوفسكي تحت الخاصية Δ r_i = λ_ir; ou λ_i∈R و dr_i احذاثيات المساحة. في هذا المنشور نرتب المساحات " translation-factorables " في فضا اقليد و لورنز تحت الخاصية Δ r_i = λ_ir; λ_i∈R الكلمات المفاتيح: مساحا ت لورنز مينكوفسكي, الانحناء القوسي , معامل لبلاص, النوع المكاني’ النوع الوقتي.

Résumé (Français) : Le concept principal et fondamental est la "la courbure". Elle intervient dans presque tous les problèmes de géométrie contemporaine. Mais son introduction nécessite la mise en place d'autres ingrédients tels que les connexions, les dérivées covariantes, le calcul tensoriel, les champs de vecteurs, etc. Dans ce manuscrit, j'aborde un sujet jusqu'a lors inexploré, donner la classification complète des surfaces dites de " translations factorables" dans l'espace euclidien E^3 de dimensions 3 et lorentzien E_1^3 qui satisfont la condition Δ_i r_i=λ_i r_i ou λ_i ∈ R et Δ est le laplacien. L'étude des sous variétés de type ni a débute a la n des années 1970 quand B-Y. Zoubir et Bekkar [8] ont classifie les surfaces de révolutions à courbure Gaussienne nulle K_G dans l'espace Euclidien à 3-dimensions E^3 et l'espaces Lorentzien-Minkowski sous la condition Δr^i= λ^i r^i ;〖 λ〗^i∈ R Baba Hamed, Bekkar et Zoubir [4] ont déterminé les surfaces de translation dans l'espace de dimensions 3 Lorentz-Minkowski E_1^3, dont les fonctions composantes sont des valeurs propres de leurs operateurs de Laplace. Baba Hamed, Bekkar [3] ont étudie les surfaces hélicoïdales sans points paraboliques〖 E〗_1^3, qui satisfont la condition ∆^II r_i = λ_ir. Bekkar et Senoussi [7] ont étudie les surfaces factorables dans l'espace à 3-dimensions Minkowski sous la condition Δ r_i = λ_ir; ou λ_i∈R et dr_i sont les coordonnées de la surface. Il y a eu classification de surfaces factorables dans l'espace de dimensions 3 Lorentz-Minkowski Euclidien et pseudo-Euclidien. Lopez et Moruz [18] ont étudie les surfaces de translation et les surfaces d'homothétie avec constante minimale homothétique non dégénérées dans l'espace Euclidien dansE_1^3. Dans cet article, on classifie les surfaces de translation-factorables dans l'espace Euclidien de dimensions 3 E^3 et E_1^3 lorentzien sous la condition Δ_i r_i=λ_i r_i ou λ_i∈R. Mots clés : Les surfaces de Translation-Factorable (TF) dans l’espace de Lorentz-Minkowski, Courbure, Operateur de Laplace, type espace, type temps. Résumé (Anglais) : Basically there are submanifolds whose into R^m is constructed by making use of finite number of R^m-valued eigenfunctions of their Lapalacian. Many works were done to characterize the classification of submanifolds in terms of finite type. Important results about 2-type spherical closed submanifolds (where spherical means into a sphere) have been obtained see [9]. A well known are the only surfaces in R^3 satisfying the condition Δr = λr ; λ ∈ R where Δ is the Laplace operator associated with the induced metric. Lorentz-Minkowski space satisfying the condition ∆^IIr = Ar where ∆^II is the Laplace operator with respect to the second fundamental form and A is a real 3 × 3 array. Zoubir and Bekkar [8] classified the surfaces of revolution with non zero Gaussian curvature K_G in the 3-dimensional Euclidean space and Lorentzian-Minkowski spaces under the condition Δr^i= λ^i r^i ;λ^idans R. Baba Hamed, Bekkar and Zoubir [4] determined the translation surfaces in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski space E_1^3, whose component functions are eigenfunctions of their Laplace operator. Baba Hamed, Bekkar [3] studies the helicoidal surfaces without parabolic points in E_1^3, which satisfy the condition ∆^II r_i = λ_ir. Bekkar and Senoussi [6] studied the factorable surfaces in the 3-dimensional Minkowski space under the condition Δr_i = λ_ir where λ_i∈ R and dr_i are the coordinate of the surface. There has been classification of factorable surface in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski Euclidian and pseudo-Galilean space. Lopezand and Moruz [17] studied translation and homothetical surfaces with constant minimal homothetical non degenerate surfaces in Euclidian in E_1^3. In this paper we classify the factorable surfaces in the 3-dimensional Euclidian space E^3 and lorentzian E_1^3 under the condition Δ_i r_i=λ_i r_i where λ_idans R. keys word : Lorentz-Minkowski,Translation-Factorable (TF) surfaces, Curvature, Laplace operator, Spacelike, Timelike