Existence des solutions des équations et inclusion à retard dépend de l’état

Abstract

الملخص (بالعربية) :

في هذا العمل ناقشنا مدخل في دراسة بعض الأقسام المختلفة من المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية تابعي و حيادية, مضطربة و غير مضطربة ذات الرتب الكسرية بمفهوم كابيتو في فضاءات بناخ و فريشي مع تأخر محدود, غير محدود و متعلق بالحل. و لقد تم تحصيل هذه النتائج بالاعتماد على النظريات المشهورة و الحديثة الخاصة بالنقطة الثابتة. المصطلحات الأساسية: معادلات تفاضلية جزئية, راتب كسري, تكامل ريمان-ليوفيل, مشتقة كابيتو, تأخر محدود, تأخر غير محدود, تأخر متعلق بالحل, نظرية النقطة الثابتة, فضاء بناخ, فضاء فريشي.

Résumé (Français ) :

Ce travail est consacré à l'étude de quelques résultats d'existence et d'unicité de la solution faible sur un intervalle borné pour quelques classes d'ordre un et d'ordre fractionnaire de type Caputo d'équations et d'inclusions d'évolution partielles fonctionnelles et celles de type neutre, différentielles et intégrodifférentielles, perturbées et non perturbées, avec un retard fini et infini dépendant de l'état.

Pour obtenir l'existence de ces solutions faibles ; des conditions suffisantes seront consid- érées dans l'étude des différentes classes de problèmes d'évolution. Des résultats d'unicité sont également donnés pour quelques classes de ces problèmes.

La méthode utilisée est de ramener la recherche de l'existence de ces solutions faibles à la recherche de l'existence des points fixes d'opérateurs appropriés en appliquant différentes alternatives non linéaires dans les espaces de Fréchet et de Banach pour entier l'existence des points fixes de cet opérateur qui sont les solutions faibles de nos problèmes. Cette méthode est basée sur des célèbres et récents théorèmes du point fixe et est combinée avec la théorie des semi-groupes. La contrôlabilité des solutions faibles est donnée dans ce travail pour quelques classes d'ordre fractionnaire d'équations d'évolution et celles de type neutre à titre d'applications.

Résumé ( Anglais) :

In this work, we give a contribution to the study of existence and uniqueness results of mild solutions on a bounded interval for various classes of first order class and Caputo's fractional derivative order class of partial functional and neutral functional type, differential and integrodi fferential, perturbed and nonperturbed evolution equations and inclusions with finite and infinite state-dependent delay.

To get the existence of these mild solutions ; suffcient conditions are considered in the study of different classes of evolution problems. Uniqueness results are also given for some classes of these problems.

The method used is to reduce the existence of these mild solutions to the search for the existence of fixed points of appropriate operators by applying different nonlinear alternatives in Fréchet and Banach spaces to entire the existence of fixed points of the above operator which are mild solutions of our problems. This method is based on famous and recent fixed point theorems and is combined with the semigroup theory.

Controllability of mild solutions is investigated for some classes of first order and fractional order of partial functional and neutral functional evolution equations in this work as applications.