Une contribution à l'étude de certaine EDP non linéaire admettant des solutions solitons

Abstract

الملخص(بالعربية):

في هذه الرسالة نقوم بدراسة قسم من المعادلات غير الخطية ذات الحقول اللا متغيرة بتحويلات لورانتز في فضاء متعدد الأبعاد المؤطرة في فضاءات سوبولاف الكلاسكية و فضاءات سوبولاف المعممة بالمتغير الأسي. الهدف الأساسي هو الحصول على حلول سوليتن مع التعميم لمعادلة ديريك . الحقول تتميز بلا تغير طبولوجي والذي نسميه الشحنة . نثبت وجود الحل المستقل عن الزمن و بتغير متغير ملائم نجد الحل للمعادلة الديناميكية( سوليتن) . وأكثر من ذلك ، تحت شروط تناظرية معينة نثبت وجود عدد غير منتهي من الحلول التى تحقق أدنى طاقة.

---------------------------------------------- Résumé (Français et/ou Anglais) :

Résumé : Dans cette thèse, nous étudions une classe d'équations de champ non linéaires invariantes par la transformée de Lorentz dans un espace multidimensionnel avec des espace soboleve classique et des espace soboleve généralisé (variable exposant variable) comme cadre fonctionnelle. Le but principal est d'obtenir des solutions solitons tout en généralisant l’equation de DERRICK. Les champs sont caractérisés par une invariance topologique, que nous appelons la charge. Nous prouvons l’existence d'une solution statique minimisant l’énergie sur un ensemble construit avec une charge non triviale avec un changement de variable approprié on deduit la solution de l’équation dynamique ( solution soliton). De plus, sous certaines hypothèses de symétrie, nous prouvons qu'il existe un nombre infini de solutions qui atteignent le minimum de l’énergie. Mots clé: Soliton, Problème de DERRICK,, Équations différentielles Non linéaire, Calcul variationnel, Théorie des points critiques, splitting lemma, Symétrie et compacité, l'opérateur p- Laplacien , charge topologique, Espaces de Lebesgue et de Sobolev à exposant variable. Classification AMS: 35C07, 35C08, 35D30, 35J30, 35J35, 35J50, 35J60, 35Q31, 35Q51.

---------------------------------------------- Abstract : In this thesis we study a class of Lorentz invariant nonlinear field equations in several space dimensions with classical soboleve space and general space soboleve (variable exponent variable) as a functional setting. The main purpose is to obtain soliton like solutions generalizing the DERRICK’s equation. The fields are characterized by a topological invariant, we call the charge. We prove the existence of a static solution which minimizes the energy among the configurations with nontrivial charge. And with the suitable change of variable we deduce the solution to the dynamic equation (soliton solution). Moreover, under some symmetry assumptions, we prove the existence of infinitely many solutions, which are constrained minima of the energy. Key words: Soliton, Derrick's Problem, Nonlinear Differential Equations, Variational calculus , Critical point theory ,Splitting Lemma, Symmetry and Compactness, The Operator p-Laplacian , Topological charge, Lebesgue and Sobolev Spaces with variable exponent. AMS Subject Classification : 35C07,35C08,35D30,35J30,35J35,35J50,35J60,35Q31,35Q51.