Une contribution aux systèmes d'équations et inclusions différentielles stochastiques impulsives d'ordre fractionnaire.

Abstract

الملخص )بالعربية( : في هذه الأطروحة ، نهدف إلى دراسة معادلة تفاضلية عشوائية باستخدام مشتق كسري من كابوتو. نثبت وجود الحل وتفرده وأن هذا الحل مستمر بالنسبة للشروط الأولية. من خلال صيغة غير سانوفي ، نؤسس عدم المساواة في النقل لحل نموذجنا ونعطي نتيجة اعتماده على الاستمرارية عبر مسافة فايرستاين. كجزء من التطبيق ، نقترح ونحقق في نهج جديد للتفاعل العشوائي بين المفترس والفريسة مع منطقة حماية للفريسة. نناقش بعض خصائص الحل ، مثل وجود وتفرد الحل الإيجابي العالمي والحدود العشوائية للحلول. بعد ذلك ، نستكشف الظروف الكافية للاستمرار في المتوسط وانقراض الأنواع. بعد ذلك ، باستخدام دالة ليابينوف العشوائية المناسبة ، نثبت أن النظام له توزيع ثابت فريد. أخيرًا ، للتحقق من صحة النتائج النظرية التي توصلنا إليها ، يتم إجراء بعض عمليات المحاكاة العددية. الكلمات المفتاحية:المعادلات التفاضلية الكسرية - التكامل الجزئي والمشتق - دوال ميتاجليفلر - النقطة الثابتة - المعادلة العشوائية - عدم المساواة في النقل ، مسافة واسرشتاين ، نموذج العشوائية المفترس و الفريسة - منطقة الحماية - سلوك القطيع - الحركات البراونية - المثابرة - التوزيع الثابت - الإرغودية - انقراض.

Résumé (Français): Dans cette thèse, nous visons à étudier une équation différentielle stochastique avec une dérivée fractionnaire de Caputo. On prouve l'existence et l'unicité de la solution et que cette solution est continue par rapport aux conditions initiales. Au moyen de la formule de Girsanov, nous établissons l'inégalité de transport pour la solution de notre modèle et donnons son résultat de dépendance de continuité via la distance de Wasserstein. Dans le cadre de l'application, nous proposons et étudions une nouvelle approche d'une interaction prédateur-proie stochastique avec une zone de protection pour la proie. Nous discutons de certaines propriétés de la solution, telles que l'existence et l'unicité de la solution positive globale et la délimitation stochastique des solutions. Ensuite, nous explorons les conditions suffisantes pour la persistance dans la moyenne et l'extinctionde l'espèce. Ensuite, en utilisant une fonction de Lyapunov stochastique appropriée, nous prouvons que le système a une distribution stationnaire unique. Enfin, pour valider nos résultats théoriques, des simulations numériques sont réalisées.

Résumé (Anglais) : In this thesis, we aim to study a stochastic differential equation with a fractional derivative of Caputo.We prove the existence and uniqueness of the solution and that this solution is continuous in relation to theinitial conditions. By means of Girsanov’s formula, we establish the transportation inequality for the solution ofour model and give its continuity dependence result via the Wasserstein distance. As part of application, wepropose and investigate a new approach of a stochastic predator-prey interaction with a protection zone for the prey. We discuss some properties of the solution, such as the existence and uniqueness of the global positivesolution and the stochastic boundedness of the solutions. Then, we explore the sufficient conditions for thepersistence in the mean and the extinction of the species. Next, by using a suitable stochastic Lyapunov function,we prove that the system has a unique stationary distribution. Finally, to validate our theoretical findings, somenumerical simulations are carried out. Keywords:Fractional differential equations- fractional integral and derivative- Mittag–Leffler functions- fixed point- stochastic equation- transportation inequality-Wasserstein distance-stochastic predator–prey model -Protection zone- Herd behavior- Brownian motions- Persistence- Stationary distribution-Ergodicity-Extinction.