Contribution à l’étude de l’existence de solutions des équations différentielles fractionnaires impulsives dans les espaces de Banach

Abstract

الملخص (بالعربية) :

الهدف من هذه الأطروحة هو البرهنة على وجود حلول لبعض فئات المعادلات التفاضلية النبضية الكسرية في فضاءات باناخ.هذه المعادلات من النوع المختلط ذات رتبة كسرية ورتبة متعددة بالنسبة لمشتق كابيتو الكسري بناءً على نظرية النقطة الثابتة وتقنيات القياس المنخفض، مع وضع شروط كافية لفئة من المعادلات التفاضلية التي تتضمن مشتق كابيتو الكسري والتأثير النبضي لإثبات أن مجموعة الحلول الضعيفة ليست فارغة.

الكلمات المفتاحية : فضاء باناخ، مشكلة القيمة المحدودة، مشتق كابيتو الكسري، النقطة الثابتة، حلول ضعيفة، نبض. ---------------------------------------------- Résumé (en Français) : L’objectif de cette thèse est de contribuer au développement de la théorie d’existence de solutions des équations différentielles fractionnaires, en étudiant trois types de classe d’équations dans des espaces de Banach. Les deux premiers résultats concernant l’existence de solutions faibles pour certaines équations différentielles impulsives de type mixte d’ordre fractionnaire et multi-ordre relatif à la dérivée au sens de Caputo en se basant sur le théorème du point fixe type-Krasnosel’skii et les techniques de mesure faible de non-compacité couplée aux intégrales Henstock-Kurzweil-Pettis. Ensuite on donne des conditions suffisantes pour une classe d’équations différentielles impliquant la dérivée fractionnaire de Caputo d’ordre α ϵ (0;1] et l’effet impulsif pour prouver que l’ensemble des solutions faibles est non vide et compact dans l’espace Cw(J;F) en utilisant le théorème de type de Brouwer-Schauder-Tychonoff. Enfin nous concluons les résultats obtenus par des exemples illustratifs.

Les mots clés : Espace de Banach, problème de valeur limite, dérivée fractionnaire au sens de Caputo, point fixe, Intégrale, mesure de non-compacité faible, impulsion, solutions faibles.

---------------------------------------------- Abstract (en Anglais) : The objective of this thesis is to contribute to the development of the theory of the existence solutions of fractional differential equations, by studying three classes of equations in Banach spaces. The first and the second result concern the existence of weak solutions for certain impulsive differential equations of mixed type of fractional order and multi-order relative to the derivative in the sense of Caputo based on the theorem of the type-Krasnosel’skii fixed point combined with the technique of measures of weak non-compactness coupled with Henstock-Kurzweil-Pettis integrals. Then, we give sufficient conditions for a class of differential equations involving the fractional derivative of Caputo of order α ϵ (0;1] and the impulsive effect to prove that the set of weak solutions is nonempty and compact in Cw(J;F) space using the Brouwer-Schauder-Tychonoff type theorem. Finally we conclude the results obtained by illustrative examples.

Keywords : Banach space, boundary value problem, Caputo fractional derivative, fixed point, measure of weak noncompactness, impulses, weak solutions.