Régression Trimmed en statistiques fonctionnelle

Abstract

الملخص (بالعربية) :

في هذه الأطروحة، نحن مهتمون بمشكلة التنبؤ عن طريق الانحدار المحلي الخطي القوي الذي لديه سلوك غير حساس وفعال في وجود القيم المتطرفة. نهتم بشكل خاص اكثر بالتقدير الا وسطي المحلي الخطي لدالة الانحدار لمتغير استجابة عددي مشروط بمتغير تفسيري دالي باستخدام نهج التقليص. دراساتنا تتركز على بيانات مستقلة توزيعها بشكل متماثل وكذلك على بيانات غير مستقلة. أولا، نعتبر أن الملاحظات مستقلة توزيعها بشكل متماثل. نحدد في هذه الحالة، سرعة التقارب شبه كامل والتقارب الطبعي لعائلة المقدرات القوية مستندة على الطريقة محلية الخطية. ثم، نصنع المقدار المحلي الخطي المقلص لدالة الانحدار و نحدد سرعة التقارب شبه كامل والتقارب الطبعي للمقدار المصنوع. ثانيا، نفترض أن الملاحظات ممتزجة بقوة، تحت شروط معينة، نحدد الخصائص المقاربة ، مثل سرعة التقارب شبه كامل والتقارب الطبعي لهذه العائلة من المقدرات المحلية الخطية القوية. لتوضيح نتائجنا المتقاربة و إظهار أداء التنبؤ لمقدراتنا في الا طار الوظيفي، سنقدم أمثلة على البيانات المحاكاة. على حسب علمنا، مشكلة التقدير الا وسطي للانحدار المقلص للبيانات الوظيفية لم تعالج من قبل. ومن هنا جاءت أصالة وجدة الدراسة التي أجريت في هذه الأطروحة.

الكلمات المفتاحية : بيانات وظيفية، طريقة محلية خطية، تقدير قوي، -α خليط ، تنبؤ لا وسطي، تقارب شبه كامل، تقارب طبعي --------------------------------------

Résumé (en Français) :

Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de prévision via la régression locale linéaire robuste qui a un comportement insensible et efficace en présence des observations aberrantes. Nous nous intéressons plus particulièrement à l'estimation locale linéaire non paramétrique de la fonction de régression d'une variable réponse réelle sachant une variable explicative fonctionnelle en utilisant l'approche Trimmed. Nos études portent sur des données indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.) et ainsi que sur des données dépendantes.

Dans un premier temps, nous considérons que les observations sont indépendantes identiquement distribuées. Nous établissons dans ce cas, la vitesse de convergence presque-complète et la normalité asymptotique d'une famille d'estimateurs robustes basée sur la méthode locale linéaire. Ensuite, nous construisons l'estimateur local linéaire Trimmed de la fonction de régression et nous établissons la vitesse de convergence presque-complète et la normalité asymptotique de l'estimateur construit.

Dans un second temps, nous supposons que les observations sont de type α-mélangeantes, sous certaines conditions, nous établissons les propriétés asymptotiques, telles que la vitesse de convergence presque-complète et la normalité asymptotique de cette famille d'estimateurs locaux linéaires robustes. Afin d'illustrer nos résultats asymptotiques et de montrer la performance de prédiction de nos estimateurs dans le cadre fonctionnel, nous donnerons des exemples sur données simulées.

Autant que l'on sache, le problème de l'estimation non paramétrique de la régression Trimmed pour des données fonctionnelles n'a jamais été abordé. d'où l'originalité et la nouveauté de l'étude menée dans cette thèse.

Les mots clés : Données fonctionnelles, Méthode locale linéaire; Estimation robuste, α-mélange; Prévision non paramétrique, Convergence presque-complète, Normalité asymptotique. -----------------------------------------

Abstract (en Anglais) :

In this thesis, we are interested in the problem of prediction via the robust linear local regression that has an insensitive and effective behavior in the presence of the outliers observations. We are particularly interested in the nonparametric local linear estimation of the regression function of a scalar response variable given a functional explanatory variable by using the Trimmed approach. Our studies focus on identically independent data distributed (i.i.d.) as well as on dependent data.

In a first step, we consider that the observations are independent identically distributed. We establish in this case, the almost complete convergence rate and the asymptotic normality of a family of robust estimators based on the local linear method. Then, we construct the Trimmed local linear estimator of the regression function and we establish the almost complete convergence rate and the asymptotic normality of the constructed estimator.

In a second step, we suppose that the observations are of α - mixing type, under certain conditions, we establish the asymptotic properties, such as, the almost complete convergence rate and the asymptotic normality of this family of robust local linear estimators. In order to illustrate our asymptotic results and to show the prediction performance of our estimators in the functional framework, we will give examples on simulated data.

As far as we know, the problem of nonparametric estimation of Trimmed regression for functional data was never been approached, hence the originality and novelty of the study conducted in this thesis.

Keywords: Functional data; Local linear method, Robust estimation, α - mixing; Nonparametric prediction, Almost complete convergence, Asymptotic normality.