Sur la Théorie Spectrale d’un Faisceau d’opérateurs et ses applications

Abstract

الرسالة الموضوعة هي مساهمة هامة في النظرية الطيفية لحزم المؤثرات وتطبيقها في نظرية الاستقرار بمفهوم ليابونوف في فضاءات هيلبرت. تتألف هذه الرسالة من مقدمة وثلاثة (03) فصول وأخيرا قائمة المراجع (29 عنوان).

نذكر في الفصل الأول بالأدوات الأساسية لمبادئ النظرية الطيفية وكذلك بعض طرق حل منظومات معادلات تفاضلية خطية في فضاءات منتهية البعد. أخيرا نذكر مفهوم الاستقرار لهذه المنظومات في فضاءات منتهية وغير منتهية البعد.

الفصل الثاني مخصص لحزم المصفوفات وتطبيقاتها باستخدام طريقتي غانتماخر [13] F.R. Gantmacher و كامبيل [7] S.L. Campbell.

نعمم في الفصل الأخير نظرية ليابونوف القديمة والمستعملة في نظرية الاستقرار لمنظومات تفاضلية خطية في فضاءات غير منتهية البعد الى حزمة مؤثرات في فضاء هيلبرت. كما نستخدم النتائج المتحصل عليها في دراسة استقرار بعض المنظومات (الرتيبة و شبه الخطية) التفاضلية الضمنية في فضاءات هيلبرت.

الفصل الاخير يشمل نتائج أصلية تم قبولها ونشرها مؤخرا في المقال [4]. La thèse présentée est une importante contribution à la théorie spectrale des faisceaux d’opérateurs et son application à la théorie de la stabilité au sens de Liapounov dans des espaces de Hilbert. Cette thèse se compose d’une introduction et de trois (03) chapitres et enfin une liste bibliographique de 29 titres. Dans le premier chapitre on rappelle les outils de base sur la théorie spectrale élémentaire ainsi quelques méthodes de résolution des systèmes différentiels linéaires en dimension finie. Enfin la notion de la stabilité de ces systèmes en dimension finie et infinie. Le deuxième chapitre est consacré aux faisceaux de matrices et leurs applications en utilisant les approches de F.R. Gantmacher [13] et de S.L. Campbell [7]. Dans le dernier chapitre on généralise le théorème classique de Liapounov utilisé à la théorie de la stabilité des systèmes linéaires différentiels en dimension infinie à un faisceau d’opérateurs dans un espace de Hilbert. Puis on applique les résultats obtenus à l’étude de la stabilité de quelques systèmes (stationnaire et quasi-linéaire) différentiels implicites dans des espaces de Hilbert. Ce dernier chapitre contient des résultats originaux qui sont publiés récemment dans l’article [4]. The presented thesis is an important contribution in the spectral theory of the operators’ pencils and its application for the Liapounov stability theory in Hilbert spaces. This thesis consists of an introduction and three (03) chapters, finally a bibliographical list of 29 titles. On the first chapter we remind the basic tools of the elementary spectral theory, also some methods to solve the linear differential systems in finite dimensional spaces. Finally, the notion of the stability for these systems in finite and infinite dimensional spaces. The second chapter is devoted to the pencils of matrices and their applications using the F.R. Gantmacher [13] and S.L. Campbell approaches [7]. In the last chapter we generalize the classical Liapounov theorem used in the stability theory of the linear differential systems in an infinite dimensional space to a pencil of operators in a Hilbert space. Then we apply the achieved results to study the stability of some (stationary and quasi-linear) differential implicit systems in Hilbert spaces. This last chapter contains original results which are recently published in the article [4].