Proposition d’une théorie de déformation de cisaillement 2D et 3D pour l’étude du comportement mécanique des plaques

Abstract

في هذا العمل نقترح نظرية تشوه القص ثنائية الأبعاد و أخرى شبه ثلاثية الأبعاد لدراسة الانحناء والاهتزاز الحر للصفائح المتدرجة وظيفيًا. على عكس نظريات تشوه القص العالي ، تقدم هذه النظرية حقل إزاحة جديد يتضمن مصطلحات تكامل غير محددة ويحتوي على عدد أقل من المجاهيل. خصائص المادة للصفائح غير متجانسة وتعتبر متغيرة باستمرار في اتجاه سمك الصفيحة وفقًا لثلاثة توزيعات مختلفة: دالة أسية، النموذج الأسّي و نموذج موري- تاناكا ، من حيث حجم الأجزاء من المكونات . يتم تحديد المعادلات الحاكمة التي تأخذ في الاعتبار آثار القص المستعرض وتمدد السماكة من قبل مبدأ هاملتون. تم الحصول على الحلول باستخدام طريقة نافيير، أما في ما يخص الترددات الأساسية فقد تم الحصول عليها من خلال حل نتائج مشكل القيم الذاتية. بالنسبة لتحديد مكونات الضغوط المحورية فقد تم ذلك بواسطة المعادلات المكونة للصفائح المركبة. في حين، تم تحديد مكونات الضغوط العرضية من خلال دمج معادلات توازن الضغوط ثلاثية الأبعاد في اتجاه سمك الصفيحة. من أجل قياس دقة النظرية الحالية قمنا بإجراء مقارنة مع مختلف الحلول ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد وشبه ثلاثي الأبعاد التي تم التطرق لها في أبحاث سابقة. كلمات مفتاحية: الانحناء ، الاهتزاز ، الصفائح المتدرجة وظيفيا ، نظرية تشوه القص ، تأثير التمدد. ///Résumé (en Français):Dans ce travail, une théorie de déformation de cisaillement bidimensionnelles (2D) et quasi tridimensionnelles (quasi-3D) est proposée pour l'étude de la flexion et de la vibration libre des plaques en matériaux fonctionnellement graduées (FGM) en utilisant la fonction de forme hyperbolique. Contrairement aux théories d’ordres élevés (HSDT) existantes, cette théorie présente un nouveau champ de déplacement qui comprend des termes d’intégrales indéterminés et contient moins d'inconnues. Les propriétés matérielles de la plaque sont non-homogènes et sont considérées comme variant d’une façon continue dans le sens de l'épaisseur selon trois distributions différentes : loi de la puissance, modèle exponentiel et Mori-Tanaka, en termes de fractions volumiques des constituants. Les équations gouvernantes qui tiennent compte des effets du cisaillement transversal et de l'étirement de l'épaisseur sont déterminées par le principe de Hamilton. Les solutions sont obtenues en utilisant la méthode de Navier, puis les fréquences fondamentales sont trouvées en résolvant un problème aux valeurs propres. Les composantes des contraintes axiales ont été déterminées par les équations constitutives des plaques composites. Les composantes des contraintes transversales ont été déterminées en intégrant les équations d'équilibre des contraintes 3D dans la direction de l'épaisseur de la plaque FGM. La précision de la formulation actuelle est démontrée par des comparaisons avec les différentes solutions 2D, 3D et quasi-3D disponibles dans la littérature. Mots clés : Flexion, vibration, plaques fonctionnellement graduées, théorie de déformation de cisaillement, effet d’étirement. ///Résumé (en Anglais) : In this work, two dimensional (2D) and quasi three-dimensional (quasi-3D) HSDTs are proposed for bending and free vibration investigation of functionally graded (FG) plates using hyperbolic shape function. Unlike the existing HSDT, the proposed theories have a novel displacement field which include undetermined integral terms and contains fewer unknowns. The material properties of the plate is inhomogeneous and are considered to vary continuously in the thickness direction by three different distributions; power-law, exponential and Mori-Tanaka model, in terms of the volume fractions of the constituents. The governing equations which consider the effects of both transverse shear and thickness stretching are determined through the Hamilton’s principle. The closed form solutions are deduced by employing Navier method and then fundamental frequencies are obtained by solving the results of eigenvalue problems. In-plane stress components have been determined by the constitutive equations of composite plates. The transverse stress components have been determined by integrating the 3D stress equilibrium equations in the thickness direction of the FG plate. The accuracy of the present formulation is demonstrated by comparisons with the different 2D, 3D and quasi-3D solutions available in the literature.

Keywords: Bending, vibration, functionally graded plate, shear deformation theory, stretching effect